TIPOS DE MATRICES

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α ·A)^t = α· A^t

(A · B)^t = B^t · A^t

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Tipos de matrices cuadradas

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

CARACTERISTICAS DE LAS MATRICES

- Una matriz es una tabla o arreglo rectangular de numeros. Los numeros en el arreglo se denominan elementos de la matriz.
- Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas y las líneas verticales se denominan columnas. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y m y n son sus dimensiones. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.
- La entrada de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama entrada i,j o entrada (i,j)-iésima de A. Esto se escribe como Ai,j o A[i,j].
- Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
- Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

1Dadas las matrices:

Calcular:

A + B; A − B; A x B; B x A; A^t.

Dadas las matrices:

Calcular:

A + B; A − B; A x B; B x A; A^t.

2Demostrar que: A² − A − 2I = 0, siendo:

Demostrar que: A² − A − 2 I = 0, siendo:

4Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz

para que resulte la matriz

Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz

para que resulte la matriz

7 Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración . La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración . La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración .

1. Representar la información en dos matrices.

2. Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

1 Representar la información en dos matrices.

2 Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

Matriz de producción:

Filas: Modelos A y B Columnas: Terminaciones N, L, S

Matriz de coste en horas:

Filas: Terminaciones N, L, S Columnas: Coste en horas: T, A

Matriz que expresa las horas de taller y de administración para cada uno de los modelos:

10Resolver; en forma matricial, el sistema:

SUMA DE MATRICES

Si las matrices A=(a_ij) y B=(b_ij) tienen la misma dimensión, la matriz suma es:

A+B=(a_ij+b_ij).

La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Propiedades de la suma de matrices

Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto:

A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa:

A + B = B + A

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ´ 2 y otra de 3 ´ 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

_{PROCEDIMIENTO DE PRODUCTO ENTRE MATRICES}

Multiplicación de matrices

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con elnúmero de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p}= M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila ide la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades de la multiplicación de matrices

Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

MATRICES INVERSAS

Una matriz inversa cuadrada A^-1 es la inversa de una matriz cuadrada A, si A A^-1 = I.

Cualquier matriz cuadrada no singular A, tiene una A^-1 única tal que : AA^-1 = A^-1A = I.

También (AB)^-1 = B^-1 A^-1 donde A, B son matrices n x n.

Cálculo de la inversa de las matrices.

Mediante el procedimiento de eliminación completa de Gauss-Jordan se vió que un sistema de ecuaciones lineales, se reduce por etapas de cálculo a la forma escalonada, eliminando sucesivamente variables de las ecuaciones hasta reducirla a la solución.

Para mayor claridad véase el ejemplo ya mencionado que por eliminación se redujo a:

Las eliminaciones del procedimiento transforman la matriz de coeficientes.

en la matriz identidad que corresponde a los coeficientes de las ecuaciones transformadas

Se observa que la transformación total con el procedimiento de eliminación de Gauss-Jordan es equivalente a multiplicar el sistema por A^-1.

Frecuentemente es necesario no solo resolver un sistema de ecuaciones simultáneas, sino también obtener la inversa de la matriz de coeficientes.

Esto se logra colocando una matriz identidad I m x m a la derecha de la matriz original de coeficientes y aplicando las transformaciones de eliminación a la matriz extendida. La inversa se genera en el lugar de la matriz identidad.

Las matrices se escriben en particiones como sigue: (A| I |b)

(A^-1A | A^-1I | A^-1b) = (I | A^-1 | X)

La obtención por eliminación de la inversa mediante eliminación también se denomina operaciones elementales a renglones de matrices y se resume así:

Intercambio de renglones para que a₁₁ 0
Multiplicar el primer renglón por una constante k 0 (R_i kR_i) para que a₁₁= 1
Reemplazar todo renglón i > 1, multiplicando el primer renglón (que contiene a₁₁ = 1) por - a_i1 y luego sumando por el i-esimo renglón (i > 1), de tal manera que se elimina el primer coeficiente ai₁.

El ejemplo previo ayuda a aclarar el procedimiento.

Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de:

1. Construir una matriz del tipo M = (A | I)

2. Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A⁻¹.

F₂ − F₁	F₃ + F₂

F₂ − F₃	F₁ + F₂

(−1) F₂	La matriz inversa es:

Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de:

1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)

2 Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A⁻¹.